T.A3.D.K. - Tanuljunk AnalHaromra De Kurvagyorsan

[Insight] Edition

Eloszo

Ez a T*DK sorozat fekete baranya, ket okbol kifolyolag. Eloszor is, tekintve, hogy B szakiranyos vagyok, igy nincs annyi es olyan bonyolult elmeleti anyag, amit itt targyalnom kene. Aki idaig eljutott, az a fogalmak legalabb felet tudja mar nummodrol. Masodszor pedig, szeretnem osszevonni az eddig csak nehany .txt file formajaban letezo "Insight" okossagaimat a T*DK iromanyaimmal. Ez lesz az elso ilyen, de mar a progmodos Gyakorlat resz is ilyesmi lett volna. Ahonnan tanultam: gyakorlat (Szarvasnal), illetve Husi elso ZH-s kidolgozasa (ez A szakiranyos).

/!\ Disclaimer /!\

Ezek a fejezetek nem igazan a megertest segitik, hanem az alkalmazast. Hogyan ess neki adott feladatoknak, tippek es trukkok. Nagyon minimalis tetel es definicio kimondas lesz itt, de azert nem is a vakon magolast es mechanikus feladatmegoldast akarom reklamozni. Tudd, hogy mit miert csinalsz, en csak abban akarok segiteni, hogy konnyebben el tudd donteni, mit mikor, es talan miert.

Tartalomjegyzek

Ha valami [WiP], akkor eppen dolgozok rajta.
Ha valami [SOONish], akkor meg el sem kedztem.
Ha valami [nFIX], akkor reszemrol kesz, de nem erzem teljesnek.
Az ilyen fejezetekben a linkek nem mindig mukodnek.
  1. Insight

Insight [WiP]

Itt csak integralasrol lesz szo. De ez nem olyan, mint a derivalas, hogy ranezel es megoldod. Derivalasnal megvan mindenre a konkret szabaly, koveted, es kesz. Az integral szamitasnal a nagyon alap integralokat leszamitva (amiket muszaj tudnod), mindig egy bizonyos formara akarod kihozni a dolgoakt, hogy utana egy fogast alkalmazhass rajta. De sokszor elso ranezesre azt sem tudod mi van. Nem egyertelmu, es nem is ertelemszeru, hogy mit kellene alakitani merre. Illetve en rendszeresen a neveit is keverem a kulonbozo modszereknek, de itt most ezt is fixalni akarom.
Okes. Feltetelezzuk, hogy az alap integralokat tudod. Ez utan az elso "mindapelda", amikor osszeadas es kivonas, avagy skalarral valo szorzas van az integrandusban. Ilyenkor altalaban az elso lepes kihozni az integrandus ele a szorzotenyezot, majd az egyes tagokat kulon integralkent felvenni. Megjegyzem ha elotte vettuk ki a szorzotenyezot, ne felejtsuk el, hogy az osszesre ki kell terjeszteni. Ez a fogas az itegralszamitas linearis tulajdonsagat hasznalja ki. Itt a legkomolyabb atalakitas, mikor "arctg-re ehes alakra" hozod, errol az Eloszoban linkelt anyagban szuper peldak vannak.
A szorzotenyezo kiemelesevel maris van egy trukk, amit konnyen eszreveheto heyzetben lehet alkalmazni. Ha (racionais) tort van az integrandusban, a nevezo (lent) elsofoku polinom es a szamlaloban (fent) konstans van, akkor ez a "f' / f" alaku integralra lehet kihozni. Nevezetesen, a nevezot derivalom, es megnezem, hogy az pont a szamlalo-e. Ha igen, fasza. Alkalmazom a szabalyt ( = ln(|f|) + c). Ha nem, akkor ugy emelek ki szorzotenyezot (az integrandus ele), hogy a szamlalo igy felszorozva (a kiemelt szam reciprokaval igazabol) pont a nevezo derivaltja legyen. Egyszeruen, ha a derivalt 2 lett, es fent 1 van, akkor kiemelem 1/2 -et, mert akkor bent 2-vel szorzok, es 1*2 = 2, vagyis boldogsag.
Ezen egy bonyolitas van, de ket kulon modszer ra. Ha a szamlaloban is polinom van, harom dolgot ellenorzol. Eloszor azokat mondom, amik ehhez a modszerhez kapcsolodnak, de nehezebb feladatoknal majd a harmadik modszer lesz az eso dolgunk. Na szoval, ha a nevezoben levo polinom foka pont egy fokkal nagyobb, mint a szamlaloban levoe, akkor az igazabol ugyanaz, mint az elozo eset. Mert ott is alul elsofoku, felul nulladfoku polinom volt. Ilyenkor "addig pofozzuk" a szamlalot, mig a derivalt ki nem jon. Erre egy bonyolitas jon be, ami a masodik modszerben mindig. Nezzuk csak. Ha nem eleg szorzotenyezot kiemelni, maradni fog valami konstans tag (plusz vagy minusz amivel korrigaltal). Ilyenkor a linearis tulajdonsagot hasznaljuk ki, es uj integrandusba irjuk a szetvalasztott tortet. Innen majd kiemelhetjuk a nevezoben maradt konstanst (hiszen az egy skalarral szorzas), es az eddig leirt modszerek egyikevel folytatjuk (avagy maris alapintegral). A masik helyzet amiben ez a szetvalasztosdi hasznahato, hogy a polinomok foka megegyezik. Ekkor ugy alakitjuk a szamlalot, hogy a nevezo megjelenjen benne, majd a "maradek" konstans szamlaloju tortet uj integrandusba irjuk.
Mielott a harmadik esetre raternek, amirol azt mondtam, hogy fontos lesz, nehany eszrevetel. Sokszor van, hogy kezdeskor alakitgatni kell a tortet, hogy eszrevegyuk, mi a helyzet. Ugyan ez nem kifejezetten polinom/polinom, de ha mondjuk a nevezoben gyok van, szinten hasznalhato ez a szetbontas. Ha ugyesek vagyunk, alapintegralra visszavezetheto. Vagy ha a szamlaloban nagyobb foku polinom van. Ekkor polinomosztassal kell kezdeni, utana probalkozhatunk szetbontassal es az egyes integralokon valameyik modszer alkalmazasaval. Illetve van egy fontos trukk, ami sokszor segithet. Ha a nevezoben mondjuk x + 1 van, a szamlaloban x + 2. Ekkor a szamlalot atalakitom x + 1 - 1 + 2 -re, es maris megjelent benne a nevezo, a (-1 + 2) = 1 -es tag kulon valaszthato, es jol lathato f' / f eset lesz. Vagy szimplan x / (x + 1). Ekkor a "semmibol" is elohuzhatjuk a (+ 1 - 1) konstanst. Bizonyos esetben akar +x -x is lehet, vagy vaami hasonlo.
Ide tartozik meg egy specialis eset. Mikor nem f' / f van, hanem f' * f^. Ahol valami szam. Ugye a "nem kulonleges eset", mikor = -1. Ellenben ha mas szam, akkor az integrandus kiszamolva nem ln(|f|) + c, hanem f^(+1) / (+1) lesz. Hasonlo, mint a nagyon alap integralas. Errefele erdemes elindulni, ha valami hulye hatvanyon van polinom. Pl 2017, vagy valami gyok. De akkor is, ha sin es cos vagy tg van benne (utobbi esetben alakitgatassal kell kezdeni).
Meg mindig a harmadik uberfontos eset elott, ugyanis ez meg konnyen keverheto az elozovel, ha ugyetlen vagy gyakorlatlan vagy. Mikor sin cos eset van, es mindketto valami hatvanyon. Ki fogjuk hasznalni, hogy egymas derivaltjai, de nem olyan egyszeruen. Illetve meg mielott neki esnenk, az is teljesen lehetseges, hogy valamelyik hatvany a nulla, es nincs is kiirva (pl tobb peldatarban van cos^3 x). Ilyenkor a standard eljaras az, hogy a kisebb paratlan hatvanyu tagbol levalasztasz egyet. Pl sin^3 x * cos^5 x eseten sin x * (sin^3 x * cos^5 x). Ezen a ponton mar at is irhatod a levalasztott tagot a masik derivaltjakent (elojerle ugyeljunk, ha kell). Majd amibol levalasztottunk, azt atirjuk (1 - fuggveny^2)^n alakban. "fuggveny", ha sin volt akkor cos, ha cos volt sin (ugye sin^2 + cos^2 = 1), n pedig a tag hatvanya, amit atirtal. Az elozo peldambol ez 3 lenne. Aztan felbontod a zarojelet, es szetbontod a kivonas menten az integrandust, es a ket felben vagy mar egyszeru eset van, vagy ujra ezt alkalmazod. Sajnos ezt nehez csak igy megerteni, nagyon ajanlom az Eloszoban linkelt dokumentumot ehhez. A feladat bonyolithato azzal, ha eloszor tangensbol kell alakitani, vagy valami addicios tetelt alkalmazni (sin2x, cos2x, stb). Avagy linearizacio, a nehezebb feladatoknal (nem keverendo az integral linearis tulajdonsagaval, az teljesen mas).
Mar kozeledunk nagyon az uberfontos reszhez, de meg mindig van ami konnyen osszekevrheto az elozo esetekkel. Ez a polinom * nempolinom alak az esetek nagy reszeben. Nevezetesen itt a parcialis integralas modszert alkalmazzuk. Ennek az altalanos menete, hogy a polinom reszt kinevezed egy g fuggvenynek, a masikat egy f fuggveny derivaltjanak. Kiszamolod g' es f fuggvenyeket, majd alkalmazod azt: int(f' * g) = f * g - int(f * g') szabalyt. int() itt az integralas alakna lenni. Ez nekem a kedvencem, mert ha eleget gyakorlod nem tudod elteveszteni, es jo az alapintegralok gyakorlasara. Itt bonyolito faktor, hogy sokszor a masodik integralra is ujra kell alkalmazni ezt a szabalyt, avagy ha nehany kiveteles esetben forditva kell megvalasztani kiindulaskor a fuggvenyeket. Erre hamar ra lehet jonni, ha tul nehez vagy lehetetlen kiszamolni f-et. Meg egy bonyolitas, bar azt hiszem ez csak A szakiranyon jon elo, hogy mikor masodszor akalmazod az eljarast, ugyanazt kapod, mint amibol elindultal (altalaban ekkor sin vagy cos van exp-el). Ilyenkor egyenletet kell felirni az ismert reszekre. Ilyen feladat lehet az is, ha magaban all egy gyokos kifejezes, vagy logaritmus. Ekkor szimplan odairod, hogy 1*valami, es alkalmazod a modszert.
Itt is vagyunk vegre az uberfontos ezt nezd meg eloszor kriteriumnal. Ha racionalis tort fuggveny, es a fenti modszerek nem alkalmazhatoak, akkor amit eloszor megnezel, hogy a nevezonek van-e valos gyoke. Ez alapjan ket teljesen mas iranyba tudsz haladni. Ha van, akkor felbontod gyoktenyezokre, majd a parcialis tortekrebontas modszert alkalmazod. Ez azt jelenti, hogy az egyes gyoktenyezos tagotat kulon-kulon tortek nevezoibe irod, es osszeadod a torteket. A szamlalok konvencionalisan A, B, C, stb. Arra kell odafigyelni, hogy mindig annyi nagybetut kell lass a szamlaloban, ahanyad foku a nevezo. Szoval ha az eredeti nevezoben harmadfoku polinom volt, es egy elsofoku illetve egy masodfoku tagra tudtad szetszedni, akkor az eso parcialis tort A/elsofokutag, a masik pedig (Bx+C)/masodfokutag. Kozos nevezore hozod a parcialis tortjeid, majd az adott egyutthatokat egyenove teszed az eredeti torben levovel, es szepen megkapod az osszes ismeretlent. Ha valamibol nincs, azt nullanak kell tekinteni persze. Ezt nagyon gyorsan meg lehet erteni nehany pelda utan.
Viszont ha a nevezonek nincs valos gyoke, akkor ez a P/Q eset. Ekkor az elso dolgod (igazabol ugye a masodik, mert az elso az uberfontos kriterium volt), hogy megnezd deg(P) < deg(Q)? Egyenlo sem lehet. Ha igen, akkor megprobalhatod f'/f alakra hozni, vagy kulon tagokra bontani, es ugy kezdeni valamit. Ha nem, akkor eloszor polinomosztas (vagy Horner tabla, ahogy tetszik).
Az a helyzet, hogy sok feladat maskepp is megoldhato. Behelyettesiteses modszerrel (fizikus modszerrel). Sot, olyan feladat is van, ami csak igy, de erre raterunk kesobb. A modszer lenyege, hogy egy bonyolultabb kifejezest azzal hozol egyszerubbre, hogy egy reszet behelyettesited. Az a klasszikus dx-bol dt lesz cokmok. Az atalakitas menetenek ismertnek kellene lennie sok korabbi targybol, kozepsulibol, etc, de mivel nekem sem volt az, igy leirom. Eloszor kiirod, hogy t mi legyen. Ezt x-re rendezed, majd amit igy kapsz derivalod t szerint. Amit kapsz, szorzod dt-vel, es ezt helyettesited be dx helyett.