T.A.D.K. - Tanuljunk Analizisre De Kurvagyorsan

T.D.D.K. es T.L.D.K. mintajara az analizises kiadas. Ez itt meg ev kozben keszul, vagyis sok-sok utomunka van benne valszeg. Ez azt jelenti, hogy ha valahol nincs sok osszefugges az egymasra epulesben, az emiatt van. Vagy ha nincs minden egymashoz linkelve. Forrasaim sajat jegyzeteim az eloadas anyagabol, Wikipedia, illetve ez es ez ket dokumentum, nameg ez az oldal. Mivel ez egy masodik feleves targy, igy jobb esetben az ember elvegzi diszkret mateket es linearis algebrat mire idejut, sok olyan dolog lesz, foleg zarojelezve, ami azokhoz a targyakhoz kotheto. Azt is fontos megjegyezzem, hogy mig mondjuk dimaton a tetelek megtanulasa nagyon kozel allt a gyakorlathoz, es a kihivas ebbol kovetkezett, itt a tetelek meglehetosen egyszeruek, s mig a bizonyitasok mar nehezebbek, azok a tanuals elsodleges celpontjai. A targy igazi nehezsege az, hogy pontosan tudni kell, hogy a sok tetel hogyan igazodik egymashoz, mi epul mire, mibol lehet mire kovetkeztetni, vagy eppen mi ekvivalens mivel, es persze minderre a miert.

Nagyon fontos, hogy az itt leirtak CSAK a megertest segitik. Sok helyen csak elmagyarazok dolgokat, es nem irom le formalisan, meg csak ugy megjegyzem, hogy "ja ennek ez a jele". Erosen ajanlom, hogy ha valaki nem tud formalizalni dolgokat, nem tudja a jeloleseket, akkor miutan megert itt egy temat, azonnal nezze meg hozza a formalizalast.

Mivel a honlapot ugy toltom fel, ahogy az eloadasok haladnak, nem pedig ev vegen, a szerkezet inkabb eloadasonkent halad, nem pedig temakoronkent. Amint minden fel van teve, az egesz ujra lesz szerkesztve.

Tartalomjegyzek

Ha valami [WiP], akkor eppen dolgozok rajta.
Ha valami [SOONish], akkor meg el sem kedztem.
Ha valami [nFIX], akkor reszemrol kesz, de nem erzem teljesnek.
Az ilyen fejezetekben a linkek nem mindig mukodnek.

1. Test axiómák
2. Relációk, függvények
3. Sorozatok [WiP]
4. Bizonyítások [WiP]
5. ZH elmélet [WiP]

Ha emlekszunk diszkret matekbol, a halmazoktol indulva a relaciokra epitve eljutottuk a csoportokig, amiknek mindenfele tulajdonsagai alapjan ilyen-olyan elnevezesket adtunk, meg kulonfele jellemzokkel illettuk oket. Peldaul ha egy gruopid (csoport) relacioja asszociativ volt, akkor felcsoportrol volt szo. Ha kommutativ is meg volt minden elemnek inverze a relaciora nezve, akkor Abel-csoport. Egy csoport amiben volt Abel-csoport es Felcsoport kulon muveletekkel, ami muveletek az addicio es a multiplikativitas (altalaban szorzas es osszeadas, de nevezzuk oket a nevukon, mert az osszeadas es szorzas felrevezeto). Ha az Abel-csoport, ami az additiv csoport, kommutativ, asszociativ es van nulleme meg ellentett (ami az additiv inverz), illetve ha a Felcsoport, ami a multiplikativ csoport, kommutativ, asszociativ es van egysegelem meg inverz, illetve a ket muvelet kozti mindket oldali disztributivitas megvan, akkor a csoportunk mar egy kommutativ egysegelemes gyuru. Ha rendezve is van, szoval megelozes, kovetes, kezdoszelet es intervallumok ertelmezhetoek a gyurun, (na meg az addicio es multiplikativitas monoton) akkor egy test. Roviden szolva egy olyan halmaz, aminek tetszoleges elemeket es muveleteket adhatunk, de hasonloan mukodik a valos szamokhoz mondjuk. Peldaul milyen vicces lenne, ha a szorzas es osztas muveletet felcserelnenk, es a reciprok az lenne, ha szoroznal.

Most, hogy mar tudjuk, mik a testek, kezdjuk el nezni az axiomakat. Az elso, amire a legtobb epulni fog, a Dedekind axioma (vagy Teljessegi axioma, ritkan Szetvalaszthatosagi axioma). Ha van ket nem ures halmazom, es az egyiknek az osszes eleme megelozi a masik osszes elemet (vagyis also korlatjai, forditva meg felso), akkor biztos lesz egy olyan x valos szam, hogy A es B koze esik. Ez egyedul racionalis szamokra nem igaz, elvileg.

A kovetkezo dolog nem egy axioma, hanem egy fogalom. Induktiv halmaz. Ha egy nem ures halmaz tartalmazza a nullat (nullemet, mert barmi rendezett testen lehetunk), es igaz, hogy ha x eleme, akkor x+1 is az lesz (x addicio egysegelem). Ezt a tulajdonsagot kimondatlanul mar hasznaltuk a termeszetes szamok definialasara, hiszen ott is nullatol indultunk es csak a rakovetes muvelet volt ertelmezheto (de az a vegtelensegig). Induktiv halmazok metszete is induktiv. Ez elsore nekem nem volt tiszta, mert mi van ha pl a halmazaim {1,2,3,4} es {6,7,8,9}. Ugye ezeken igaz az x -> x+1, nade nem elemuk 0, ami pedig kotelezo. Igy vegulis a legnagyobb halmaz reszhalmaza az osszes tobbi, es igy persze, hogy a metszetuk is induktiv.

Ez a kotelezo rakovetes sok dologhoz hasznalhato, es sok dolog bizonyithato vele. Tobbek kozt a teljes indukcio is erre epul. Ugye a teljes indukcional egy allitast bizonyitunk ugy, hogy "ha erre igaz, akkor a rakovetkezore is". Szoval azt nezzuk, hogy egy feltetel igaz-e minden n termeszetes szamra (es itt persze a 0 is termeszetes). Feltesszuk, hogy egy n termeszetes szamra igaz. Mivel N induktiv, igy n+1 biztos lezetik, es a feltetel erre is igaz. Ezzel belatjuk, hogy mindig lesz egy kovetkezo szam, amire igaz.

Annak, aki jol tudja dimatot, az elkovetkezo nehany tetel elegge egyszeru lesz, szinte csak ismetles. Ha egy nem ures halmaznak van olyan eleme (vagy elemei), amit minden mas elem kovet, akkor az ilyen elem(ek) a minimum(ok), vagy legkisebb elem(ek). Ha valamit minden megeloz, az minimum.

Egy H nem ures halmaz felulrol korlatos, ha van egy olyan masik halmaz, aminek minden eleme kovet egy tetszoleges H beli elemet. Ugyanigy H alulrol korlatos ha van olyan masik halmaz, aminek minden eleme megeloz egy tetszoleges H beli x elemet.

Ha van egy korlatos nem ures H halmazunk, akkor biztos lesz egy olyan K halmaz, aminek minden eleme vagy megelozi, vagy koveti H elemeit, attol fuggoen, hogy a felso vagy also korlatok halmaza. Ha K a felso korlatok halmaza, akkor K minimumat H supremumjanak hivjuk. Ha K az also korlatok halmaza, akkor K maximuma H infimuma. Ezek a Dedekind axioma miatt vannak, hiszen biztos lesz olyan H-t koveto halmaz, hogy van koztuk elem. Sot, azt is mondhatjuk, hogy a Dedekind axioma es szupremum elv ekvivalensek. Ha most ha a H-t koveto halmaz majdnem K, csak eppen az az egy elem nincs benne, de rogton utana K kovetkezne, akkor ez barmi mas korlattal lehet igy. Also korlatnal a ket halmaz szerepet cserel az axiomaban. Ha H felulrol korlatos, akkor biztos van maximuma es supremuma. Sot, a ketto pont ugyan az a szam (vagy elem). Hasonloan also korlat, minimum es infimum.

Az elobb mar lattuk, hogy mit jelent ha egy tetszoleges rendezett testen egy halmaz korlatos. Ha H a valos szamok egy reszhalmaza, akkor H olyankor felulrol korlatos, ha van egy olyan pozitiv szam, amit ha kivonunk a szupremumabol, akkor a halmaznak lesz eleme, ami koveti. Hasonloan also korlat osszeadassal es megelozessel.

A dimat ismetles vege az Archimedeszi tulajdonsag. Ez azt mondja ki, hogy ha van ket valos szamunk, amibol az egyik pozitiv, akkor ha ezt a pozitiv szamot megszorozzuk egy termeszetes szammal, az biztos kovetni fogja a masik valos szamot. Szoval ha a es b valos, a > 0 es n termeszetes, akkor a*n >= b.

A kovetkezo uj fogalom a Cantor tulajdonsag. Elobb nezzuk meg a Cantor halmazt. A lenyeg, hogy egy sorozatot vagy intervallumot (persze rendezettek) "elharmadolunk". Aztan az elso es utolso harmadokat megint, es azoknak is az elso es utolso harmadait es igy tovabb. Szoval minden harmadolas utani halmaz ertelemszeruen a harmadolt halmaz valodi reszhalmaza. Na most az ilyen harmadolassal kapott halmazok osszessege, mas szoval n korlatos intervallum, ahol n+1 mindig n valos reszhalmaza, vagyis egyre "kisebbek", akkor az ilyen halmazok metszete nem ures. Ha jol ertelmezem akkor ez azert van, mert ha veszek egy halmazt ami "kisebb" az elsotol, aztan ugy csinalok mintha ket halmazra (intervallumra) bontanam. Az egyik a nagyobb halmaz kezdetetol a kisebb kezdeteig, a masik a kisebb vegetol a nagyobb vegeig (mert ugye harmadoltunk). Igy pont a kisebb halmaz marad ki, de a Dedekind axioma pontosan kimondja, hogy kell, hogy az elso es utolso harmad kozt elem legyen. Egyebkent a Cantor es Archimedeszi tulajdonsagok egyuttesen ekvivalensek a Dedekind axiomaval.

Ahogy egyszer ki kellett bovitsuk a valos szamok halmazat a gyokvonas miatt komplex szamokka, ugy a korlatossag (igazabol majd a konvergencia es divergencia jo elvalaszthatosagara) miatt is kell egy ugynevezett "kibovitett valos szamok halmaza", jele R. Ez magaba foglalja a negativ es pozitiv vegtelent is. Minden "sima" R beli elem koveti minusz vegtelent es megelozi pozitiv vegtelent. Igy ha egy nem ures halmaz nem felulrol korlatos, akkor szupremuma pozitiv vegtelen. Hasonloan also korlat es negativ vegtelen.

Ahogy a diszkret matekes leirasbol nehanyan emlekezhetnek, a relaciokat es kesobb fuggvenyeket is halmazokbol vezettuk be. Itt nem fogjuk azt a sok magyarazatot megint atnezni, de nehany halmazos fogalmaz azert megnezunk. Ezek kozul az elso, ertelemszeruen, hogy mi egy halmaz. Egy halmaz elemek osszessege, sorrend nelkul. Ez eleg fontos, hiszen mig vannak rendezett halmazok, peldaul rendezett parok, rendezett testek, egy halmaz alapbol nem rendezett. Nincs benne megelozes es kovetes, nincs benne kisebb-nagyobb. A halmaz elemei kozt ertelemszeruen tudunk megallapitasokat tenni, hogy melyik a nagyobb, de ez nem rendezi a halmazt. Hogy meg jobban meg tudjunk szimpla ketelemu halmazokat es rendezett parokat kulonboztetni, a rendezett parokat (a,b), nem pedig {a,b} jelolessel irjuk fel. Egy rendezett par halamazosan felirva (a,b) = {{a},{a,b}}. Persze leteznek nem ketelemu rendezett "dolgok". Pl.: (a,b,c).

Halmazokon vannak muveletek is ertelmezve (ami nagyon vicces igy kimondva, mert "halmazokon vannak halmazok ertelmezve"), ilyen peldaul az ekvivalencia. A,B halmazok akkor egyenloek, ha ugyanazok az elemeik. De mivel a sorrend mindegy, igy {a,b} = {b,a}. Uniot es metszetet azt hiszem nem kell felirnom, sem diszjunkcio fogalmat (diszjunkt ket halmaz ha nincs kozos elemuk). Aztan tovabbi ismetles a Descartes-szorat, ami halmazok elemeibol general rendezett parokbol allo halmazt. A = {1,2}, B = {3,4}, ilyenkor AxB = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. Ismet, mivel AxB egy halmaz, igy az elemek sorrendje mindegy, de az elemeken beluli elemek, vagyis a rendzett parok komponenseinek sorrendje nem. Igy az is ertelemszeru, hogy, mivel (1,2) nem ugyanaz, mint (2,1), AxB sem egyenlo BxA, szoval a Descartes szorzas nem kommutativ muvelet. Ha egy halmaz onmagaval vett Descartes szorzatat vesszuk, akkor AxA helyett A² jelolest hasznalhatjuk. Lehet tovabb hatvanyozni is A³ = A²xA, es igy tovabb. Ezzel a logikaval, ugyan nem elleoriztem, hogy a ket alak ekvivalens-e, de A⁴ = A³xA, nem pedig A²xA².

Ahogy lattuk az elobb, voltak muveleteink amik egyfajta dologbol indultak ki, es valami masok lettek. Peldaul a Descartes szorzas egy szamokbol allo halmazbol rendezett parokbol allo halmazt alkotott. De vannak sokkal egyszerubb peldak is. Mondjuk mig x = 2 esetben 2 is szam, es x is szam lesz, x > 2 esetben 2 szam, de x intervallum, vagyis (rendezett) halmaz. Na most, relacionkent ez mas es mas (elmeletben). Ez azert fontos, mert lathatjuk, hogy a relaciokkal valamibol valamit csinalunk (kepzunk). Az elozo magyarazatom fals volt, de egyelore csak a jo utra akrtam vezetni magunkat. A valamik halmaza, amikbol valami mast csinalunk a relacio ertektartomanya (domain). Azon elemek halmaza, amit az ertektartomany elemeibol lesznek, a relacio ertekkeszlete (range), mas neven kepe (kephalmaza). Szoval igazabol egy halmazra huzunk egy relaciot, es igy egy masik halmazt kapunk. Vagyis, szinte. Ugyan tenyleg ez tortenik, de ez nem teljesen korrekt megfogalmazas. Gondoljunk bele, ha egy olyan halmazbol indulunk ki, amibol nem tudunk minden elemmel csinalni valamit, vagy ha egy olyan halmazba akarunk lekepezni, aminek szinten nem tudjuk minden elemet elerni. Peldaul legyunk a kiindulo halmazunk minden paros szam 0 es 10 kozt, es 1. A kephalmazunk legyen minden paratlan szam 0 es 10 kozt. A relacio legyen az, hogy minden paros szambol kivon egyet. Igy 1-el rogton nem tudunk mit csinalni, mert nem paros. Azt is latjuk, hogy 2-t soha nem fogjuk elerni, mert paros. Igy ha a kiindulo halmaz volt A, az erkezesi halmaz pedig B, akkor ha R relacio, nem mondhatjuk, hogy R:AxB, hiszen R nem ertelmezheto minden elemre, es nem is er el mindent. Ilyenkor R csak eleme az AxB halmaznak. Sot, R maga is egy halmaz, az elemei pedig olyan rendezett parok, hogy az elso komponensek a kiindulo, a masodik komponensek az erkezesi halmazbol vannak, es koztuk fenn all R relacio. Szoval az elozo peldaval elve, (4,3) elem, mert 4 A eleme, 3 B eleme es 4-1 = 3. Ez felrihato amugy 4R3 jelolessel is (ezert van, hogy a > b is igy lehet irva). Ilyenkor azt mondhatjuk, hogy "a R relacioban all b-vel".

Ha egy relacio olyan, hogy ket indulohalmaz beli elem nem tudja ugyanazt a szamot lekepezni, szoval ha aRb, akkor nem lehet cRb, sem dRb, sem semmi ilyesmi (aRb es aRx azert lehet), akkor az a relacio egy fuggveny. Igazabol ha megis fel tudjuk irni, hogy aRb es cRb, akkor biztos, hogy a = c. Tobbek kozt ezert van, hogy az oszthatosag relacio, es nem fuggveny, mert egy szamot tobb szam is oszt, raadasul pozitiv es negativ szamok is ugyanazt osztjak. A fuggvenyek tovabbra is "magukkal visznek" minden tulajdosagot amik relaciokra es halmazokra ertelmezve voltak, amig az ilyen tulajdonsagok nem mennek szmbe a fuggvenyseg felteteleinek. Szoval igazabol a fuggvenyek is halmazok. Belegondolva, mikor felrajzoljuk egy fuggveny grafikonjat, aztan egy intervallumot veszunk ki belole, ezt nagyon jol lathatjuk. Fuggvenyekre viszont vannak tovabbi jellemzo lehetosegek. Ha egy fuggveny a kephalmaz minden elemet eleri, akkor szurjektiv. Ilyenek klasszikusan a negativ vegtelentol pozitiv vegtelenbe tarto fuggvenyek, de gondoljunk bele, ha egy olyan testbol kepzunk olyan testbe, vagy olyan "mezei halmazbol" olyan "mezei halmazba", hogy veges szamu elemuk van, de azt mind elerjuk, akkor szurjektiv a fuggvenyunk. Egy masik jo kis jellemzo, hogy ha minden egyes indulohalmaz beli elem kulonbozo kephallmaz beli elemet er el (kepez), akkor injektiv fuggvenyrol beszelunk. Az injektiv fuggvenyek inverzalhatok, hiszen pontosan tudjuk, mit hogyan kepzunk le. Ha egy fuggveny egyszerre injektiv es szurjektiv, akkor bijektiv.

Fuggvenyekre is vannak muveletek, ugymond. Egy fuggvenynek vehetjuk egy mas halmaz szerinti kepet. Szoval ha van egy f:A->B fuggvenyunk, es H szerinti kepet akarjuk venni, akkor A es H halmazokat elmetszem, es az igy kapott halmaz elemeire huzom ra a relaciot (A elemei helyett). Szoval az ertelmezesi tartomany csak olyan elemeit nezem, amik H elemei is. Igy altalaban az ertekkeszletbol kevesebb elemet erek el, de nem feltetlenul. Peldaul ha a fuggveny "relacioja" az "osztja-e nyolcat", es csak a B = {"igen", "nem"} halmaz elemeit erhetem el, es A = {2,4}, akkor is ugyanazokat az elemeket fogom elerni, ha H = {2}. Ilyenkor ugyan 4 kimarad, de ugyis az az "igen" elemet erem el. Ha A = {2,4,6}, H = {2,5}, akkor mig eredetileg elertem B minden elemet, a H szerinti keppel nem fogom. Mert ugyan 5 H eleme, es nem 8 osztoja, de A es H metszetenek nem eleme. Egy masik hasonlo dolog egy fuggveny oskepe (szukitese). Ilyenkor nem H es dmn(f) (ertektartomany, vagyis A) metszetet veszem, hanem rng(f) (ertekkeszlet, B) helyett egy az egyben egy H halmazt veszek. Vagyis ha f:A->B, akkor f H szerinti oskepe az olyan A beli elemek, ahol f:A->H. Ilyenkor : helyett celravezetobb azt mondani, hogy f A->H eleme, hiszen hacsak nem A = H, nem fogjuk A minden elemet elerni.

Ahogy halmazokat lehetett metszeni, uniojukat venni, fuggvenyeket is legyen "egybegyurni". Ha valamire elobb egy f aztan egy g fuggvenyt ertelmezunk, akkor f es g kompoziciojat irhatjuk fel. Vagyis legyen egy f:A->B es g:C->D fuggvenyunk. Ilyenkor ha A-bol veszunk egy elemet es f fuggvennyel B-be kepezzuk, es igy egy olyan elemet kapunk ami C eleme is (vagyis B es C metszetenek eleme), akkor tovabb tudjuk kepezni g fuggvennyel D halmazba. Ilyenkor ha x az elem amit kepezgetunk, akkor f(x) amivel az elso es g(f(x)) amivel a masodik lekepzes eredmenyet kapjuk. Ezt GoF (kiolvasva: G kor F) jelolessel irjhatjuk fel. Fontos, hogy hiszen g(f(x)) es f(g(x)) altalaban nem ugyanaz, GoF es FoG sem, igy o nem kommutativ.

Megszokott modon itt is halmazokbol fogunk kiindulni, de lesz resz ahol majd nagyon el kell tekinteni halmazos dolgoktol. Ha egy halmazbol valasztunk elemeket, egy sorozatot alkotunk. Egy sorozatnak altalaban van szabalya, de ez nem feltetel. Peldaul ha pi szamjegyeit elkezdjuk kulon felsorolni is egy sorozatot kapunk. Ha a honapok kezdobetuit irjuk fel is. Ha felirjuk az osszes dimenziora az egysegmatrixot is egy sorozatot kapunk. Egy halmazbol vett elemek sorozata eseten a sorozatot azon halmaz beli sorozatnak hivjuk. Szoval ha a sorozat es H halmaz, valamint a elemei H-bol lettek valasztva, akkor a H beli sorozat. Itt nincs lekepezes vagy kephalmaz. Az a(x) (vagy siman a_x) jeloles letezik, de nem az x szambol kepez egy a beli elemet, hanem a x. elemet veszi. Vannak nevezetes sorozatok. Peldaul a konstans (allando) sorozat, aminek minden eleme ugyanaz, a szamtani, a mertani es a harmonikus sorozatok. Az ilyen sorozatok altalaban, nevukbol eredoen, sorba vannak rendezve, egyertelmuen meg tudjuk mondani, hogy a_n es a_m elemek kozt melyik van elorebb es hatrebb (elobb es kesobb) a sorozatban. Ennek kapcsan, ha egy sorozat elemei az index novelesevel egyre csak novekednek, a sorozat monoton novekvo. Ha csokkennek, a sorozat monoton csokkeno. Ha ugy novekednek vagy csokkennek, hogy nincsenek ekvivalens elemek, az egy szigoruan monoton novekvo vagy szigoruan monoton csokkeno sorozat. Egy szigoruan monoton sorozat altalaban leirhato fuggvenykent is, hiszen minden eleme mas ertek.

Volt mar szo korabban halmazok korlatossagarol, minimum es maximum elemrol, infiumrol es szupremumrol. Ezek a fogalmak altalaban sorozatokra is ertelmezhetoek. Mivel egy sorozat elemei rendezettek, igy ugye tudjuk a megelozes es kovetes muveleteket ertelmezni rajtuk. Igy ha tudok egy olyan k elemet, ami a sorozat minden elemet koveti, akkor a sorozat felulrol korlatos. Hasonloan ha k a sorozat minden elemet megelozi, a sorozat alulrol korlatos. Ha egy sorozat alulrol es felulrol is korlatos, akkor szimplan azt mondjuk, hogy korlatos.

Egy korlat elem, vagy egesz korlat halmaz (sorozat) eseten lathatjuk, hogy ha mondjuk egy K halmaz (sorozat) korlatja egy A halmaznak (sorozatnak), akkor K csak paros elemei is azok lesznek. Vagy minden otodik, vagy mindegyik ami osztja nyolcat, mondjuk osszetettebb elemek eseten az olyan rendezett parok amik kozul az elso komponens nagyobb, mint a masodik, vagy mondjuk csak felsoharomszogmatrixok. Szoval egy sorozatbol tudunk kivenni reszeket, amik igy az eredeti sorozat reszsorozatai, es a nevuk is ez: reszsorozat. Na most egy ilyen reszszorozat altalaban egyben indexsorozat is. Ez csak annyit jelent, hogy szigoruan monoton. Es persze minden reszszorozaon belul is van monoton reszszorozat.

Hasonloan a halmazok maximum elemehez van a csucselem. De NE ugy gondoljunk ra, mint maximum. A maximum a halmaz legnagyobb eleme volt. Ez azt jelenti, hogy a "vegen" helyezkedett el. Ha tobb volt belole, mind ott volt. Egy sorozat csucseleme nem feltetlenul a rendezes alapjan dol el, hanem egy elem, aminel nincs nagyobb ami koveti. Ha van egy szigoruan monoton csokkeno sorozat, annak minden eleme csucs. Egy szigoruan monoton novekvonek egy sincs. A sin() fuggvenynek periodusonkent van egy, meghozza az 1. Ez tobbszor is elofordul, de nincs nala nagyobb ami koveti. Egy vegtelen sorozatnak lehet vegtelen sok csucsa.

Vannak sorozatok, peldaul a harmonikus sorozat, amik egy bizonyos erteknel nem haladnak tovabb, de azt egyre inkabb megkozelitik. Vagyis lesz egy olyan elem amit egy adott tavolsagtol jobban nem kerulnek el elemek a sorozat vegerol (ez kesobb majd valami masra is jo lesz). Ilyenkor a sorozatnak van hatarerteke, ami az az adott elem, es a sorozat "vege" ez korul mozog. Azert mozgast mondok, mert egyszerre lehetnek kisebb es nagyobb elemei is, de a lenyeg, hogy egyre "kozelebb" kerulnek a hatarertekhez (oda tartanak). A hatarertek koruli intervallumot a hatarertek kornyezetenek hivjuk. Egy, es csakis egy hatarertek lehet. Peldaul -1 hatvanyainak sorozatanak nincs hatarerteke, pedig a sorozat elemei, amik vagy -1 vagy 1 barmilyen nagy indexre is, de ezek nem surusodnek be EGY bizonyos szam korul. De nem csak EGY korul, igy ezeket nem nevezhetjuk hatarerteknek. Aztan vannak az olyan sorozatok is amik a vegtelenbe tartanak. Ezeknek mondhatjuk, hogy a hatarertekuk vegtelen (persze a kibovitett valos szamok halmazan csak).

Az olyan sorozatok, amiknek van hatarertekuk es az nem vegtelen, konvergensek. A konvergens sorozatoknak igy mindig van hatarerteke, de ez forditva nem igaz. Peldaul a vegtelen hatarerteku sorozatok eseten. A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak hivjuk. Osszefoglalva egy sorozatnak van hatarerteke, ha van olyan R beli hatarertek, hogy minden nullatol nagyobb Ł eseten van olyan n₀-tol nagyobb index ami a hatarertek Ł sugaru kornyezeteben van.

Amire korabban utaltam, hogy felhasznaljuk majd, most fel is hasznaljuk. Mivel a sorozat vege (valami indextol vett elemei) fontos csak a hatarertek szempontjabol, ha ket hatarertekkel rendelkezo (nem konvergens, mert vegtelenbe is tarthat) sorozatnak a vege ugyanaz, akkor a hatarertekuk is megegyezik. Igy ha van ket sorozatom ami ugyanoda tart, de kozejuk befoghato egy harmadik sorozat, az is oda fog tartani. Ez a csendor-elv, avagy rendor-elv.

Sorozatokra tudjuk az alapveto muveletket, osszeadast, kivonast, szorzast, osztast (is) ertelmezni. De nem feltetlenul. Peldaul ha ket sorozat abszurdul masfele tart, mondjuk az egyik hatarerteke nulla, a masiknak vegtelen, vagy nulla es valami mas konstans, nem biztos, hogy ossze tudjuk adogatni. Az olyan sorozatok, amineknek a hatarerteke nulla, egyszeruen nullsorozatoknak (vagy nullsoroknak) hivjuk. Nullsorozatok osszege, kulonbsege, szorzata is nullsorozat. Nullsor es korlatos sor szorzata is nullsor. Hanyados nem ertelmezheto, mert nullaval nem tudunk osztani (a valos szamok halmazan (mert nincs multiplikativ inverze (mert a nullelem (a valos szamok halmazan)))). Konvergens sorozatokra mar lesz hanyados is, persze ha az oszto soroazt egy eleme sem null(elem), es persze nem nullsor. Ilyenkor a kapott sorozatok is konvergensek. Ha egy ilyen muveletet elvegzunk a sorozatainkkal (nullsor, konvergens sor), akkor a muvelet a hatatertekekkel is elvegezheto, es a kapott sorozatok hataterteke lesz. Szoval (a_n + b_n) hatarerteke A+B.

Volt mar szo a monotonitasrol sorozatok eseten. Ha egy sor felulrol koraltos es monoton no, akkor konvergens is, es a hatarerteke a sorozat (mint halmaz) supremuma lesz. Hasonloan also korlat, csokkenes es infimum. Ellekezo esetben, ha monoton no de nem korlatos felulrol, akkor a vegtelenbe fog tartani, vagyis a hatarerteke is vegtelen. Csokkenesnel es also korlat hianyanal is, negativ vegtelen. Ahogy mar lattuk, hogy sorozatokbol lehet monoton reszsort kivalasztani, ugy konvergenst is. Mondjuk csak a csucsok.

Sorozatokat mindenfele modon lehet megadni. Nehanyat akar fuggvenyekkel is, de nehanyat csak szavakkal. "Pi minden masodik szamjegye." Vannak sorozatok amiket megukkal is. Ezeket rekurziv sorozatoknak hivjuk. Ez azt jelenti, hogy a definicioban magat a sorozatot is felhasznaljuk. Peldaul n! = n * (n-1)!.

Lattuk mar konvergens es nullsorozatokra a muveleteket. Ezek nagyon egyszeruek, de csak azert, mert azoknak a sorozatoknak szepen lathato, jol meghatarozhato hatarerteke van. De mi van, ha egy sorozat a kibovitett valos szamok halmazan van, es a vegtelenbe tart, aztan megprobaljuk elosztani valamivel? Attol fuggoen, hogy az a valami micsoda (konvergens, nullsor, vegtelen hatarertekes), mas es mas esetek vannak. Egy vegtelenhez tarto sorhoz nullsort vagy konvergens sort adva/kivonva vegtelenhez tarto sort kaptunk. A szorzas is mukodik, persze a pozitiv/negativ hatarerteket figyelembe kell venni, mert attol fuggoen a vegtelen sor is valtoztathat elojelet. Az osztas az valami/inf formaban mukodik csak, es mindig null lesz. Egyszerubb az olyan eseteket megjegyezni igazabol, amikor nem tudunk muveletet elvegezni. Ezek: (+inf + -inf), (0 * +-inf), +-inf/+-inf, konstans/0, +-inf/0, 0/0.

A nevezetes sorozataink listajahoz adhatunk egy ujat, a Cauchy-sort (sorozatot, sorrendet). Ennek az a lenyege, hogy ha van egy sorozatom es egy barmilyen pozitiv valos szamom, akkor a szam barmilyen kicsi is, egy Cauchy-sor elemei kozti kulonbseg valamilyen indextol biztos kisebb lesz. Peldaul ((-1)^n)/n, ami oszclillalva nullahoz kozelit. Tudok mondani egy olyan szamot es egy olyan indexet, hogy onnantol ha kivonom egy elembol a rakovetkezot, akkor a kulonseg mindig kisebb a valasztott szamnal. Ez a kriterium ekvivalens azzal, hogy egy sorozat konvergens. Vegulis, ha belegondolunk ha egyre kisebb es kisebb a tavolsag ket elem kozt, akkor elobb-utobb ez a tavolsag valoban olyan elhanyagolhato lesz, hogy nem lepjuk at a "kovetkezo" szamot. A kovergencia pedig pont ez visszafele, hogy mivel a sorozat vegen levo elemek egyre jobban megkozelitenek egy szamot, az attol (es igy egymastol) vett tavolsag egyre csokken.

Mivel ugy vettem eszre, csupan az eloadasok anyaganak hatteret ertelmezni nem eleg, igy ebbol a targybol a gyakorlatok feladatairol is irni akarok. Ez azert is lehet fontos, mert hiszen az eloadasok fogalmainak, teteleinek fogalmai feltetelezettek a gyakorlatok alatt, ott is johetnek (es jonnek) be uj dolgok, amik szinten szorulhatnak magyarazatra. Nem akarom kifejezetten "gyakorlat1", "gyakorlat2" modon szetvalasztani az anyagot, de nagyjabol olyan sorrendben lesznek a fejezetek.

A Bernoulli egyenlotlenseg egy eszkoz, melyek hatvanyfuggveny becsulheto alulrol. De nekunk arra lesz fontosabb, hogy majd a mertani es szamtani kozep kozti osszefuggest felvezessuk vele.

Teljes indukcio

Supremum elv

Ahogy ev kozben keszulok a zarthelyikre, a szamunkra kiadott elmeleti anyagok kerdeseit tervezem minimalista szinten megvalaszolgatni. Ezek amolyan "haeztmegtanulodmeglehetaketteselmeletianyag" kepek lesznek, amik tartalmat mas oldalakrol ollozok ossze es szerkesztek at a sajat stilusomra.

2. ZH